Analiza matematyczna - zadania
WERSJA NIEOFICJALNA

Plik z zadaniami do pobrania:

    Granice funkcji, pochodne i różniczki

  1. Korzystając z definicji pochodnej (jako granicy ilorazu różnicowego) oblicz pochodne funkcji:
    y = x,   y = x2,   y = x3.
  2. Oblicz pochodne funkcji:
    a)    y = 3x7 – 4x4 + 6x2 – 12x + 7
    b)    y = –2x4 + x3 – 2x + 1985
    c)    y = √x_– 1/√x_
    d)    y = (2x + 3)3
    e)    y = √x2 + 3x – 1 _________
    f)     y = (2x + 3)/x
    g)    y = x/(1 + x)
    h)    y = exp(1/x)
    i)     y = exp(x3 – 3x)
    j)     y = ln(x)
    k)    y = ln(x2 – 2)
    l)     y = A sin(bx + c)
    m)   y = A cos(bx + c)
    n)    y = tg(x)
    o)    y = ctg(x)
    p)    y = tg(x3 + x)
    r)     y = tg√1/x___
    s)    y = sin(x)/x
    t)     y = sin2(2x + 1)
    u)    y = 1/ln(x)
    w)    y = A x2 cos(x)
    y)    y = (x + 1)3(x2 + 1)2
    z)    y = (x + 1)/(x – 1)
  3. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli:   y = ax2 + bx + c.
  4. Pod jakimi kątami przecinają oś  0X  wykresy funkcji:
    y = sin(x),   y = tg(x).
  5. Dana jest funkcja:   y = x2 – 2x – 3.
    Jaki kąt z osią  0X  tworzy styczna do wykresu funkcji w punktach x=1 oraz x=2.
    Pod jakimi kątami wykres tej funkcji przecina osie układu współrzędnych.
  6. Dana jest funkcja:   y = x2 – x + 3.
    Znajdź współrzędne punktu leżącego na wykresie tej funkcji, w którym styczna do wykresu jest równoległa do prostej:   y = 7x – 2.
    Pokaż, że wykres funkcji:   y = –x2 + x + 3   przecina daną funkcję pod kątem prostym.
  7. Na wysokości 1,5 m nad ziemią strzelono poziomo z łuku. Strzała wbiła się w ziemię w odległości 30 m – jaki kąt tworzy z powierzchnią ziemi, zakładając, że tor lotu strzały był parabolą.
  8. Tor ruchu kamienia wyrzuconego ukośnie w górę jest parabolą. Napisz równanie tej paraboli jeśli wiadomo, że:
    - kamień rzucono pod kątem 45°
    - nad miejscem odległym od punktu wyrzutu o 4 m (poziomo) kamień osiągnął maksymalną wysokość równą 6 m.
    Odczytaj z równania paraboli informacje:
    - z jakiej wysokości wyrzucono kamień,
    - w jakiej odległości od punktu wyrzutu kamień znalazł się znowu na takiej wysokości (jeśli powierzchnia ziemi w otoczeniu jest pozioma i równa),
    - jaki był zasięg rzutu.
  9. Z rogów kwadratowego arkusza blachy o boku 30 cm usunięto cztery równe kwadraty. Pozostałe, wystające części zagięto do góry otrzymując otwarte, prostopadłościenne pudełko. Jaką wysokość powinno mieć to pudełko aby jego objętość była maksymalna.
  10. Producent konserw używa puszek o objętości 243 cm3. Kształt puszki jest w przybliżeniu prostopadłościenny, przy czym stosunek długości boków podstawy jest 2:1. Zaprojektuj wymiary puszki tak aby zużycie blachy było jak najmniejsze.
  11. Obwód elektryczny składa się z 12-woltowej baterii o oporności wewnętrznej 5 omów i opornika o zmiennej oporności R omów. Moc wydzielana na oporniku wynosi I2R watów, gdzie prąd I = 12/(R + 5) amperów. Znajdź wartość R dającą maksymalną moc.
  12. Belka o długości 3 m podparta jest w dwóch punktach: na jednym końcu i w odległości 1 m od drugiego końca. Moment zginający M w punkcie oddalonym o x od podpartego końca wyraża się wzorami:
    M = 2x2 – 3x     dla  x ≤ 2
    M = 2(3 – x)2     dla  x ≥ 2.
    W którym miejsu belki moment zginający ma największą wartość (jeśli belka złamie się pod własnym ciężarem to w tym właśnie miejscu).
  13. Właściciel lodziarni sprzedaje zimą więcej lodów jeśli temperatura w lokalu jest wyższa – zarabia więcej ale musi też więcej płacić za ogrzewanie.
    Zależność zarobku na sprzedaży lodów od temperatury opisuje funkcja:   z(T) = 300 – 2400/T,
    a zależność opłaty za ogrzewanie od temperatury - funkcja:   o(T) = 100 + 5T.
    Jaka temperatura w lokalu zapewni lodziarzowi największy dochód.
  14. Przedsiębiorstwo komunikacyjne przewozi miesięcznie N pasażerów i zarabia na każdym średnio 1 zł. Trafiają się pasażerowie "na gapę", którzy nie przynoszą przedsiębiorstwu zysku bo nie płacą. Aby zmniejszyć straty przedsiębiorstwo zatrudnia x kontrolerów płacąc każdemu po 500 zł miesięcznie gdyż przy całkowitym braku kontroli co czwarty pasażer byłby "gapowiczem". Zwiększenie ilości kontrolerów x powoduje zmniejszenie ilości "gapowiczów" g zgodnie z zależnością:
    g(x) = C exp(– 0.2x2).
    Podaj funkcję opisującą zależność miesięcznego dochodu przedsiębiorstwa y w zależności od ilości zatrudnianych kontrolerów x przy znanej ilości przewożonych pasażerów N.
    Ilu kontrolerów powinno zatrudniać przedsiębiorstwo aby osiągnąć największy dochód?
    (wygeneruj wykres podanej funkcji i jej pochodnej dla N=10000 pasażerów).
  15. Zbadaj granice funkcji:
    a)   lim (x3 – x2 – x + 1)/(x3 – 3x + 2)         dla:   A. x→ 1       B. x→ ∞
    b)   lim (x2 + 5x + 6)/(x3 – 12x – 16)           dla:   A. x→ –2     B. x→ ∞
  16. Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
    a)    y = 1/3x3 – 4x2 + 7x + 1
    b)    y = x4 – 18x2
    c)    y = x4 + 8x3 + 18x2
    d)    y = x + 5/x
    e)    y = x3 + 2x4
    f)     y = 3x5 – 5x3
    g)    y = x2(x – 6)3
    h)    y = 4 – x – 9/x
    Wskaż dziedzinę, granice, miejsca zerowe, przedziały wypukłości lub wklęsłości, ekstrema, punkty przegięcia i asymptoty.
  17. Oblicz różniczki zupełne funkcji:
    a)    f (x,y) = x2y/(x2 + y2)
    b)    f (α,β) = 4sin2α cosβ – 1
    c)    r (x,y)           jeśli   r2 = x2 + y2
    d)    f (θ,λ)           jeśli   2f sinθ = λ
    e)    f (a,b,c)        jeśli   1/f 2 = h2/a2 + k2/b2 + l2/c2     (h,k,l - stałe)
  18. Objętość kulki określono (przez zanurzenie jej w menzurce) na 33,5 ml z dokładnością do 0,5 ml. Z jaką dokładnością można z tych danych obliczyć promień kulki?
  19. Zmierzono długość wahadła matematycznego l z dokładnością 1% a okres wahań T - z dokładnością 2%. Korzystając z wyników tych pomiarów obliczono przyspieszenie ziemskie g, ze wzoru   T = 2π√l/g.__Jak dokładna jest otrzymana wartość?
  20. Właściciel pobiera od przedsiębiorcy czynsz za dzierżawę hali o kubaturze 326 m3. Przedsiębiorca podejrzewa, że właściciel zawyżył kubaturę hali i pobiera za duży czynsz. Aby to udowodnić, sam zmierzył długość i szerokość hali z dokładnością do 1 cm - otrzymując 12 m i 6 m, oraz wysokość z dokładnością do 2 cm - otrzymując 4,5 m. Czy przy pomocy tych danych udowodni swoje podejrzenie?
  21. Używając różniczki zupełnej dla obliczenia przyrostu funkcji, oszacuj wartości funkcji:
    sin (1°),     sin (3°),     sin (6°),     cos (91°),     cos (93°),     cos (96°).
    Kiedy takie oszacowanie ma sens?

    na początek

    Całki nieoznaczone

  22. Oblicz całki nieoznaczone:
    a)    ∫ (x3 – x) dx
    b)    ∫ cos x dx
    c)    ∫ (x + 1) dx
    d)    ∫ sin x dx
    e)    ∫ x dx
    f)     ∫ 1/x2 dx
    g)    ∫ (x2 – 3) dx
    h)    ∫ (x + 1)(x – 1) dx
    i)     ∫ 6x2 dx
    j)     ∫ (4 – x2) dx
    k)    ∫ (x + 4)2 dx
    l)     ∫ 2 cos(2x) dx
    m)   ∫ ex dx
    n)    ∫ 1/x dx
    o)    ∫ √x_dx
    p)    ∫ 1/√x_dx
    r)     ∫ dx
  23. Oblicz całki nieoznaczone metodą całkowania "przez części":
    a)    ∫ x sin x dx
    b)    ∫ x cos x dx
    c)    ∫ x2 sin x dx
    d)    ∫ x2 cos x dx
    e)    ∫ sin2x dx
    f)     ∫ cos2x dx
    g)    ∫ (1 + x2) sin x dx
    h)    ∫ x (2x – 1)5 dx
    i)     ∫ x2 (x + 1)9 dx
    j)     ∫ x ex dx
    k)    ∫ x2 ex dx
    l)     ∫ x3 ex dx
    m)   ∫ ln x dx
  24. Oblicz całki nieoznaczone metodą podstawienia:
    a)    ∫ x (x + 4)2 dx, podstaw: u = x + 4
    b)    ∫ x √(2x + 3)______ dx, podstaw: u = 2x + 3
    c)    ∫ x (5 – x2)3 dx, podstaw: u = 5 – x2
    d)    ∫ 4x3 (x2 + 1)3 dx, podstaw: u = x2 + 1
    e)    ∫ sin√x_/ √x_dx, podstaw: u = √x_
    f)     ∫ x3 √1 – x2_____ dx, podstaw: u = 1 – x2
    g)    ∫ sin x/cos2x dx, podstaw: u = cos x
    h)    ∫ x √(1 + 3x)______ dx, podstaw: u = 1 + 3x
    i)     ∫ 4x (x2 + 1)3 dx, podstaw: u = x2 + 1
    j)     ∫ (1 + x)(4 – 3x)2 dx, podstaw: u = 4 – 3x
    k)    ∫ 6x3 (x2 – 2) dx, podstaw: u = x2 – 2
    l)     ∫ 6x2 √x3 – 2_____ dx, podstaw: u = x3 – 2
    m)   ∫ 6x/ (2x + 1)3 dx, podstaw: u = 2x + 1
    n)    ∫ x (x + 1)3 dx, podstaw: x = u – 1
    o)    ∫ x √1 – x____ dx, podstaw: x = 1 – u2
    p)    ∫ (x + 1) √x + 2____ dx, podstaw: x = u2 – 2

    na początek

    Całki oznaczone

  25. Oblicz całki oznaczone funkcji  f(x)  w granicach od x1 do x2:
    a)    f(x) = x                A.  x1= 0, x2= 1;   B.  x1= 1, x2= 0;   C.  x1= –1, x2= 1;
    b)    f(x) = x + 1          A.  x1= –4, x2= 2;   B.  x1= 2, x2= –4;
    c)    f(x) = x3 – x         A.  x1= –10, x2= 0;   B.  x1= 0, x2= –10;
    d)    f(x) = x2 – 3         A.  x1= –2, x2= 2;   B.  x1= 2, x2= –2;
    e)    f(x) = 1/x2            A.  x1= 2, x2= 3;  B.  x1= 3, x2= 2;  C.  x1= –2, x2= –3;  D.  x1= –3, x2= –2;
    f)     f(x) = 6x2             A.  x1= 3, x2= 4;   B.  x1= 4, x2= 3;   C.  x1= 0, x2= 3;   D.  x1= 0, x2= 4;
    g)    f(x) = 3√x_           A.  x1= 1, x2= 8;   B.  x1= 8, x2= 1;
    h)    f(x) = 4 – x2         A.  x1= 0, x2= 2;   B.  x1= 2, x2= 0;
    i)     f(x) = sin x           A.  x1= 0, x2= π;   B.  x1= π, x2= 2π;   C.  x1= 0, x2= 2π;
    j)     f(x) = sin2x          A.  x1= 0, x2= π;   B.  x1= π, x2= 2π;   C.  x1= 0, x2= 2π;
    k)    f(x) = cos x          A.  x1= –π/2, x2= π/2;   B.  x1= π/2, x2= 3π/2;   C.  x1= 0, x2= 2π;
    l)     f(x) = cos2x         A.  x1= –π/2, x2= π/2;   B.  x1= π/2, x2= 3π/2;   C.  x1= 0, x2= 2π;
    m)   f(x) = ex               A.  x1= –1, x2= 0;   B.  x1= 0, x2= 1;   C.  x1= –1, x2= 1;
    n)    f(x) = e–x             A.  x1= –1, x2= 0;   B.  x1= 0, x2= 1;   C.  x1= –1, x2= 1;
  26. Znajdź pola obszarów ograniczonych osią OX i wykresem funkcji f(x):
    a)    f(x) = x2 – 3x
    b)    f(x) = (5 – x)(2 – x)
    c)    f(x) = (x + 1)(6 – x)
    d)    f(x) = x2(6 – x)
    e)    f(x) = (6 – x)2x
    f)     f(x) = x3 – 8x2 + 13x – 6
  27. Oblicz pole skończonego obszaru zawartego pomiędzy krzywą y = 3√x_a prostą y = x.
  28. Oblicz całkę oznaczoną funkcji f(x) w przedziale od 1 do a. Sprawdź czy istnieje granica tej całki dla a →∞. Jeśli istnieje, podaj jej wartość.
    a)    f(x) = 1/ 3√x_
    b)    f(x) = 1/x3
    c)    f(x) = 3√x_
    d)    f(x) = (3√x_)4
    e)    f(x) = 1/(3√x_)4
  29. Znajdź wartość średnią funkcji  f(x)  w przedziale od x1 do x2:
    a)    f(x) = x2               x1 = –1,   x2 = 1;
    b)    f(x) = x2 – 1          x1 = –1,   x2 = 1;
    c)    f(x) = sin x            x1 = 0,   x2 = π;
    d)    f(x) = sin2x            x1 = 0,   x2 = π;
    e)    f(x) = cos x           x1 = –π/2,   x2 = π/2;
    f)     f(x) = cos2x           x1 = –π/2,   x2 = π/2;
    g)    f(x) = sin x            x1 = 0,   x2 = 2π;
    h)    f(x) = sin2x            x1 = 0,   x2 = 2π;
  30. Sprawdź, że dla funkcji liniowej, wartość średnia w przedziale równa jest średniej arytmetycznej wartości funkcji na końcach przedziału, a inne funkcje tej własności nie mają.
  31. Hala o wymiarach 40 m na 20 m pokryta jest dachem w kształcie wygiętego prostokąta. Dłuższe boki dachu stykają się ze ścianami hali. Przekrój dachu, wzdłuż krótszego boku, przedstawia wypukłą krzywą o równaniu  h = 6 sin(πx/20),  gdzie h - wysokość dachu nad górną krawędzią ścian, x - odległość od dłuższej ściany hali (obie w metrach). Oblicz objętość "poddasza".
  32. Moment bezwładności dI elementu masy dm znajdującego się w odległości r od osi obrotu wynosi: dI = dm r2. Całkując to równanie oblicz moment bezwładności:
    a)  jednorodnego, cienkiego pręta o długości a i masie m, względem osi będącej jego symetralną,
    b)  jednorodnego walca o promieniu R, wysokości h i masie m, względem jego osi symetrii obrotowej.
  33. Oblicz całkowitą siłę (parcie) wody na ścianę akwarium o długości 1 m, napełnionego do wysokości 0,5 m.
    Wskazówka - potrzebne równania:
    parcie F = pS,   gdzie p - ciśnienie hydrostatyczne, S - pole powierzchni;
    ciśnienie hydrostatyczne p = ρgh,   gdzie ρ - gęstość, h - głębokość, g - przyspieszenie ziemskie;
  34. Próbka radioaktywnego pierwiastka zawiera N atomów. W czasie dt rozpada się dN atomów tej próbki, co można wyrazić równaniem: –dN = γNdt  (wpółczynnik proporcjonalności γ nazywany jest stałą rozpadu). Znajdź zależność ilości atomów tego pierwiastka w próbce od czasu. Znajdź związek stałej rozpadu γ z okresem połowicznego rozpadu, tzn. czasem, w którym rozpada się w próbce połowa atomów tego pierwiastka.
  35. Badając próbkę liści pewnej rośliny stwierdzono, że ich długości zawierają się w przedziale od 2 do 8 cm a ilość  n  liści o długości  x  w próbce, opisuje funkcja  n(x) = 40 + 40 cos(x–5). Jaki procent liści w próbce miało długość
    a)   mniejszą niż 4 cm,
    b)   większą od długości średniej,
    c)   różniącą się od średniej nie więcej niż o 1 cm.

    na początek

    Szeregi

  36. Rozwiń w szereg Taylora funkcję y = ex w otoczeniu punktu x=0. Oszacuj przy pomocy tego szeregu wartość e (przyjmij przyrost zmiennej x równy 1). Ile wyrazów szeregu trzeba zsumować aby otrzymać liczbę e z dokładnością do 3 miejsc po przecinku.
  37. Udowodnij równość:  e = cosφ + isinφ.
    Wskazówka: Rozwiń funkcje w szereg Taylora.

    na początek